【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.13 直线与圆的位置关系-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(10)页，803.342 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.13直线与圆的位置关系-重难点题型精讲1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：(2)直线与圆的位置关系的判定方法①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若

有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的切

线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.(2)求过圆上的一点的圆的

切线方程：①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.②重要结论：a.经过圆上一点P的切线方程为.b.经过圆上一点P的切线方程为.c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线

方程为.3．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：(1)几何法如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公

式进行求解.②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.4．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆

心向直线作垂线.①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直

线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别

式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距

离的平方的最值问题.(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.5．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：(2)建系原则建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所

在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.【题型1直线与圆的位置关系及判

定】【方法点拨】①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.②

几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C

．相离D．不确定【变式1-1】（2022·河南·高二阶段练习）对于任意实数𝑘，圆𝐶:𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦+12=0与直线𝑙:𝑘𝑥−𝑦−4𝑘+3=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与𝑘的取值有关【变式1-2】（2022·全国·高二课时

练习）已知直线𝑙:𝑥−𝑦+2=0与圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑦−2𝑚=0相离，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,0)B．(−12,+∞)C．(−∞,−14)D．(−12,−14)【变式1-3

】（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑀(𝑎,𝑏)(𝑎𝑏≠0)在圆𝑥2+𝑦2=𝑟2内，直线𝑚是以𝑀为中点的弦所在直线，直线𝑙的方程为𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑟2=0，则（）A．𝑙//𝑚且与圆相离B．𝑙⊥𝑚且与圆相切C．𝑙//𝑚且与圆相交D．𝑙

⊥𝑚且与圆相离【题型2圆的切线问题及切线方程的求解】【方法点拨】①当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(r为圆C的半径).②当一条直线l与圆C相切于点P时，则lPC.③过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则

必定会用到.【例2】（2022·全国·高三专题练习）过点𝑀(3,1)作圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−6𝑦+2=0的切线𝑙，则𝑙的方程为（）A．𝑥+𝑦−4=0B．𝑥+𝑦−4=0或𝑥=3C．𝑥−𝑦−2=0D．𝑥+𝑦−2=

0或𝑥=3【变式2-1】（2021·山西大同·高三阶段练习（文））已知圆心在𝑥轴上，半径为2√2的圆上有一点𝑀(1,2)，则圆在点M处的切线方程是（）A．𝑥−𝑦+1=0B．2𝑥−𝑦=0或𝑥+𝑦−3=0C．𝑥

+𝑦−3=0D．𝑥−𝑦+1=0或𝑥+𝑦−3=0【变式2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）过直线𝑥+𝑦=5上的点作圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−1=0的切线，则切线长的最小值为（）A．3√2B．2√3C．√15D．√6

【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知圆𝐶：𝑥2+(𝑦−3)2=2，点𝐴是𝑥轴上的一个动点，𝐴𝑃，𝐴𝑄分别切圆C于P，Q两点，则线段𝑃𝑄长的取值范围是（）A．[2√73,2√2)B．[2√143,2√2)C．[2√53

,2√3)D．[2√33,2√5)【题型3圆的弦长问题】【方法点拨】当直线与圆相交时，因几何法求弦长较方便，一般不用代数法.用几何法求解圆的弦长的一般步骤：第一步：确定圆的半径r；第二步：求解圆心到直线的距离d；第三步

：代入公式求解弦长.【例3】（2022·全国·高二课时练习）直线𝑙:3𝑥+4𝑦−1=0被圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦−4=0所截得的弦长为（）A．2√5B．4C．2√3D．2√2【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）过点𝐴(2,2)，作倾斜角为π3的直线

l，则直线l被圆𝑂:𝑥2+𝑦2=16−8√3截得的弦长为（）A．1−√32B．2−√3C．3−√3D．6−2√3【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线𝑙：𝑚𝑥−𝑦−3𝑚+1=0恒过点𝑃，过点𝑃作直线与圆C：(𝑥−1)2+(𝑦−2)2

=25相交于A，B两点，则|𝐴𝐵|的最小值为（）A．4√5B．2C．4D．2√5【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：𝑥2+𝑦2=10，已知直线l：𝑎𝑥+𝑏𝑦=2𝑎−𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅)与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|𝑀𝑁|

=（）A．3√52B．5√52C．2√5D．3√5【题型4直线与圆有关的最值问题】【方法点拨】解直线与圆的最值问题主要有以下两种思路：①代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法进行求解.在转化过程

中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法.②几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、最小取值点.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知圆𝐶：𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦

+1=0，点𝑃是直线𝑦=4上的动点，过𝑃作圆的两条切线，切点分别为𝐴，𝐵，则|𝐴𝐵|的最小值为（）A．2√53B．4√53C．2√55D．√5【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在17

65年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐵(−1,1)，点𝐶(3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：

𝑥2+𝑦2=4的两条切线，切点分别为M，N，则|𝑀𝑁|的最小值为（）A．√2B．2√2C．√3D．2√3【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）已知点𝑄在圆𝑀:(𝑥+3)2+(𝑦−3)2=4上，

直线𝑙:2𝑥−3𝑦+6=0与𝑥轴、𝑦轴分别交于点𝑃、𝑅，则下列结论中正确的有（）①点𝑄到直线𝑙的距离小于4.5②点𝑄到直线𝑙的距离大于1③当∠𝑄𝑅𝑃最小时，|𝑅𝑄|=√6④当∠𝑄𝑅𝑃最大时，|𝑅𝑄|=√6A．1个B．2个C．3个D．4个【

变式4-3】（2021·湖北·高二期中）已知圆𝐶1:(𝑥−2)2+(𝑦+3)2=1，圆𝐶2:(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=9，𝑀、𝑁分别是圆𝐶1、𝐶2上动点，𝑃是𝑥轴上动点，则|𝑃𝑁|−|𝑃𝑀|

的最大值是（）A．5√2+4B．√2C．5√2D．√2+4【题型5直线与部分圆的相交问题】【方法点拨】一条直线和一个圆的一部分有交点时，如果用代数法去研究，则要转化为一元二次方程根的取值情况，过程比较繁

琐，因此这类问题一般采用数形结合的方法去研究，研究应抓住两类直线：一是切线；二是过端点的直线.【例5】（2022·湖南·高二阶段练习）若直线𝑙:𝑘𝑥−𝑦−2=0与曲线𝐶:√1−(𝑦−1)2=𝑥−1有两个交点，则实数

k的取值范围是（）A．(43,2]B．(43,4)C．[−2,43)∪(43,2]D．(43,+∞)【变式5-1】（2021·山东泰安·高二期中）设点𝑃(𝑥,𝑦)是曲线𝑦=−√4−(𝑥−1)2上的任意一点，则𝑦−2𝑥−4的取值范围是（）A．[0，12

5]B．[25，125]C．[0,2]D．[25,2]【变式5-2】（2021·天津高二阶段练习）设曲线𝑥=√1−(1−𝑦)2上的点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离的最大值为𝑎，最小值为𝑏，则𝑎−𝑏的值为()A．√2B．2−√22C．2D．√22+1【变式5-3】（2021·山

东·高二阶段练习）过点(2,−1)引直线𝑙与曲线𝑦=√1−𝑥2相交于𝐴､𝐵两点，则直线𝑙的斜率取值范围是（）A．[−1,−34]B．(−43,−1]C．(−1,−34]D．[−43,−34]【题型6直线与圆的方程的应用】【方法点拨】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：

①应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不可随便建立；②在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；③最后一定要将代数结果转化成几何结论.【例6】（2022·全国·高二课时练习）如图

，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40√2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O

，A，B三点．(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【变式6-1】（2022·湖北·高二期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平

台O的北偏西45°方向2√2km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．(1)试写出A，B

的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时8√7km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说

明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【变式6-2】（2022·浙江·高二期末）如图，一个湖的边界是圆心为𝑂的圆，湖的一侧有一条直线型公路𝑙，湖上有桥𝐴𝐵（𝐴𝐵是圆𝑂的直径）.规划在公路𝑙上选两个点𝑃､𝑄，并修建两段直线型道路𝑃�

�､𝑄𝐴.规划要求，线段𝑃𝐵､𝑄𝐴上的所有点到点𝑂的距离均不小于圆𝑂的半径.已知点𝐴,𝐵到直线𝑙的距离分别为𝐴𝐶和𝐵𝐷（𝐶,𝐷为垂足），测得𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=6，𝐵𝐷=1

2（单位：百米）.(1)若道路𝑃𝐵与桥𝐴𝐵垂直，求道路𝑃𝐵的长；(2)在规划要求下，点𝑄能否选在𝐷处？并说明理由.【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台𝑂的正东方向设立了两个观测站𝐴、𝐵（点𝐴在点

𝑂、点𝐵之间），它们到平台𝑂的距离分别为3海里和12海里，记海平面上到两观测站距离𝑃𝐴，𝑃𝐵之比为12的点𝑃的轨迹为曲线𝐸，规定曲线𝐸及其内部区域为安全预警区（如图）．(1)以𝑂为坐标原点，𝐴𝐵所在直线为𝑥轴建立平面直角坐标系，求曲线𝐸的方程；(2)

某日在观测站𝐵处发现，在该海上平台正南2√11海里的𝐶处，有一艘轮船正以每小时10海里的速度向北偏东30∘方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警

区中的航行时间是几小时．