【文档说明】河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试 数学 Word版含解析.docx，共(10)页，802.690 KB，由小赞的店铺上传

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高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后

，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足1i1iz=−−+，则z=（）A.2

2i+B.22i−−C.2i−D.2i2.已知ABC的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,ABCm，且π2ABC=，则m=（）A.2B.3C.4D.53.若,,abc是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2abab+B.,,

aabac++C.,,aacc−D.,,2bcacabc++++4.已知平面的一个法向量为()1,2,2n=−，点M在外，点N在内，且()1,2,1MN=−，则点M到平面的距离d=（）A.1B.2C.3D.625.续航能力

关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75

,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93B.92C.91.5D.93.56.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若tan3,3Bbac=−=，则2()acac+=（）

A.6B.4C.3D.27.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A.15B.25C.35D.9208.已知圆锥1AO在正方体1111ABCDABCD−内，2AB=，且1AC垂直于圆锥1AO的底面，当该圆锥的底面

积最大时，圆锥的体积为（）A.3πB.2πC.3π2D.23π3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,mn是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A

.若m∥,n∥，则m∥nB.若,mn⊥，则mn⊥C.若,mmn⊥⊥，则n或n∥D.若m∥,,mn相交，则n∥10.已知事件,,ABC两两互斥，若()()()135,,4812PAPABP

AC===，则（）A.()12PBC=B.()18PB=C.()724PBC=D.()16PC=11.已知厚度不计的容器是由半径为2m，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为1.1m的

正方体B.底面半径和高均为1.9m的圆锥C.棱长均为2m的四面体D.半径为0.75m的球三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCDA

BCDABAB−==，体积为13，则该方亭的高是__________.13.在空间直角坐标系Oxyz中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,ABCD为AB的中点，则异面直线BC与OD所成角的余弦值为__________.1

4.在ABC中，点D在BC边上，2,,BCBADCADABACADABACAD===+，则ABC的外接圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高

中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照)))))40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育

锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中a和b的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16.（15分）在ABC中，角,

,ABC的对边分别是,,abc，已知()sincos1cossin,1CBaCBb=−.（1）证明：1cosCb=.（2）若2,aABC=的面积为1，求c.17.（15分）如图，在四棱锥PABCD−中，已知底面ABCD是边长为23的菱形，60,23BADPAPBPD====，且PE⊥平面ABC

D，垂足为E.（1）证明：BC⊥平面PBE.（2）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.18.（17分）在正四棱柱1111ABCDABCD−中，已知1AB=，点,,EFG分别在棱111,,BBCCDD上

，且,,,AEFG四点共面，,BAEDAG==.（1）若AEAG=，记平面AEFG与底面ABCD的交线为l，证明：BD∥l.（2）若π4+=，记四边形AEFG的面积为S，求S的最小值.19.（17分）给定平面上

一个图形D，以及图形D上的点12,,,nPPP，如果对于D上任意的点P，21niiPP=为与P无关的定值，我们就称12,,,nPPP为关于图形D的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,

PPPPPP为图形D，判断点123,,PPP是不是关于图形D的一组稳定向量基点；（2）若图形D是边长为2的正方形，1234,,,PPPP是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求1223341PPPPPPPP++−的取值范围；（3）若给定单位圆E及其内接正202

4边形122024,PPPP为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,PPP是关于圆E的一组稳定向量基点，并求202421iiPP=的值.高二数学考试参考答案1.C因为1i1iz=−−+，所以2(1i)2iz=−+=−.2.D因为()()2,1,2,1,BABCm

BABC=−=−⊥，所以()410BABCm=−+−=，解得5m=.3.B因为()22aabb=+−，所以,,2abab+共面；,,abc是空间的一个基底，假设,,aabac++共面，则存在不全为零的实数,st，使得()()asabtac=+++，即()astasbt

c=+++，则1,0stst+===，无解，故,,aabac++不共面；因为()aacc=−+，所以,,aacc−共面；因为()()2abcbcac++=+++，所以,,2bcacabc++++共面.4.A14213MNndn−−+===.5.D8名学生的成绩

从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95，且875%6=，故上四分位数为929593.52+=.6.B因为tan3B=−，所以2π3B=，由余弦定理可得222222cos3bacacBacacac=+−=++=，即2()4acac+=，故2()4acac+=.7.B

设{iA=第i次拨号拨对号码},1,2i=.拨号不超过两次就拨对号码可表示为112AAA+，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为()()()11211214125545PAAAPAPAA+=+=+=.8.C如图所示，取111111,,,,,ABADDDDCCBBB的中点，分别记为M，,,

,,NEFPG，连接111,,,,,,,BDBDEFFPPGGMMNNE.根据正方体的性质易知六边形MNEFPG为正六边形，此时1AC的中点O为该正六边形的中心，且1AC⊥平面MNEFPG，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG时，该圆锥的底面积最大.设此时

圆锥的底面圆半径为r，因为22112222BD=+=，所以11122FPBD==，所以3622rFP==，圆锥的底面积23ππ2Sr==，圆锥的高113232AO==，所以圆锥的体积1113π3π33322VSAO===.9.BC对于A，若m∥,n∥，则直线,mn可能相交或平行或异

面，故A错误.对于B，若,mn⊥，则mn⊥，故B正确.对于C，若,mmn⊥⊥，则n∥或n，故C正确.对于D，若m∥,,mn相交，则n∥或n与相交，故D错误.10.BCD因为事件,,ABC两两互斥，所以()()()

0PBCPABPAC===，故A错误.由()()()()1348PABPAPBPB=+=+=，得()18PB=，故B正确.由()()()()15412PACPAPCPC=+=+=，得()16PC=，故

D正确.因为()()()1178624PBCPBPC=+=+=，所以C正确.11.AC设扇形所在圆的半径为R，对于A，设正方体的棱长为a，如图1，则可容纳的最长对角线max23OARa===，解得max21.151.13a=，故A正确.对于C，如图2，取三段14圆弧的中点,,BCD，则四面体

OBCD的棱长均为2m，所以可以容纳，故C正确.对于B，如图2，同选项C的分析，BCD的外接圆半径为231.93，所以不可以容纳，故B错误.对于D，如图3，4，设球的半径为r，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴

截面，可知圆O与圆O内切，22222223OMOOrOMOMrrOHMHrr=+=++=++=++，解得310.7320.75r=−，所以不可以容纳，故D错误.12.3设正四棱台的高为h.因为1133ABAB==，所以方

亭1111ABCDABCD−的体积()()221111331333VhSSSSh=++=++=下下上上，解得3h=.13.15依题意可得()()()2,1,0,2,1,0,0,2,4DODBC==−，则21cos,5205BCODBCO

DBCOD−===−，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为15.14.233设2BAC=，因为BADCAD=，所以BADCAD==.由ABCABDADCSSS=+，得111sin2sinsin222ABACADABADAC=+，即()sin2sinABACADABAD

AC=+，又ABACADABACAD=+，所以sin2sin=，即2sincossin=，又02π，所以π02，所以sin0，则1cos2=，所以π3=，所以2π23BAC==，则ABC外接圆的半径2232s

in33BCRBAC===.15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为100.1100=，则0.10.0110a==，由各组频率之和为1，可知()0.0050.010.02520.005101b++++=，解得0.0

3b=.（2）前3组的频率之和为()0.0050.010.03100.450.5,++=前4组的频率之和为0.450.025100.70.5+=，所以样本数据的中位数在第4组，设为x，所以()0.45700.0250.5

x+−=，解得72x=，估计样本数据的中位数是72分钟.估计平均数是()()45950.05550.1650.375850.2572+++++=分钟.16.（1）证明：因为()sincos1cossinCBaCB=

−，所以sincoscossincossinCBCBaCB+=，即()cossinsinaCBCB=+.根据πBCA+=−，得()sinsinCBA+=，所以cossinsinaCBA=，由正弦定理得cosabCa=，

所以cos1bC=，从而1cosCb=.（2）解：由（1）可得2211sin1bCbb−=−=.因为ABC的面积为1，所以2211sin112babCbbb−==−=，解得22,cos2bC==.又2a=，所以由余弦定理得2222cos4222222ca

babC=+−=+−=.17.（1）证明：连接,DEBD，因为23,PAPBPDPE===⊥平面ABCD，所以EAEBED==.又四边形ABCD是菱形，60BAD=，所以ABD是正三角形，所以30EBD=.由ABBDBCCD===，得BCD是正三角形，60DBC=.所以90EB

CEBDDBC=+=，即BCBE⊥.由PE⊥平面ABCD，可得BCPE⊥.因为PEBEE=，所以BC⊥平面PBE.（2）解：以E为坐标原点，,EBEP的方向分别为,yz轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为23AB=，所以223232,

(23)2223BEAEPE====−=，则()()()()()()()0,2,0,3,1,0,23,2,0,0,0,22,23,0,0,0,2,22,33,3,0BACPBCBPAC−−=−=−=−.设(),,mxyz=是平面PBC的一个法向量，由0,0,mBCmBP==得

230,2220,xyz−=−+=取1z=，可得()0,2,1m=.设直线AC与平面PBC所成的角为，则326sin663mACmAC===，即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为66.18.（1）证明：连接EG，因为,,90AEAGABA

DABEADG====，所以ABEADG，则BEDG=.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，易知BE∥DG，所以四边形BDGE是平行四边形，从而BD∥GE.又BD平面AEFG，所以BD∥平面AEFG

.又BD平面ABCD，平面ABCD平面AEFGl=，所以BD∥l.（2）解：易证四边形AEFG为平行四边形.以A为坐标原点，AB，1,ADAA的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所

示.()()1,0,tan,0,1,tanEG，则()()1,0,tan,0,1,tanAEAG==，()()22tantancos1tan1tanAEAGEAGAEAG==++，()()222sin1tan1tan1

cosSAEAGEAGEAG==++−，化简可得221tantanS=++.因为π4+=，所以()tantantan11tantan++==−，整理得tantan1tantan+=−.由()tan

tan1tantan2tantan,tan,tan0,1+=−…，可得0tantan322−„.2221(tantan)2tantan24tantantantanS=++−=−+，易知(

)2fxx=−42x+在(0,322−上单调递减，所以当tantan322=−时，min742S=−，当且仅当tantan21==−时，S取得最小值742−.19.解：（1）点()()()1230,0,2,0,0,2

PPP不是关于D的一组稳定向量基点.理由如下：当P与()10,0P重合时，有2221238PPPPPP++=，当P与()22,0P重合时，有222123128PPPPPP++=，故()()()1230,0,2,0,0,2PPP不是关于D的一

组稳定向量基点.（2）因为12233411414PPPPPPPPPPPPPP++−=−=，所以12233414PPPPPPPPPP++−=，当P与2P重合时，4PP取得最大值22，当P与4P重合时，4PP取得最小值0，所以1223341PPPPPPPP++−的取值范围为0,22

.（3）设单位圆E的圆心为O，所以()2024202420242222221220241112024||2.iliiiPPOPOPOPOPOPOPOPOP====−=++++−因为多边形122024PPP是正2024边形，所以20242024110,0.iliiO

POPOP====又1iOPOP==，所以2024214048iiPP==，故122024,,,PPP是关于圆E的一组稳定向量基点，且.2024214048liP==.