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专练23平面向量的概念及其线性运算授课提示：对应学生用书47页[基础强化]一、选择题1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b

|，且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②④答案：A解析：当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提，AB→＝DC→⇔ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|

＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．|a|＝|b|B．a∥bC．|a|>|b|

D．a⊥b答案：D解析：由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA→＝m，CD→＝n，则CB→＝()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n答案

：B解析：因为BD＝2DA，所以CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋3AD→＝CA→＋3(CD→－CA→)＝－2CA→＋3CD→＝－2m＋3n.故选B.4．在等腰梯形ABCD中，AB→＝－2CD→，M为BC的中点，则A

M→＝()A．12AB→＋12AD→B．34AB→＋12AD→C．34AB→＋14AD→D．12AB→＋34AD→答案：B解析：∵M为BC的中点，∴AM→＝12(AC→＋AB→)＝12(AD→＋DC→)＋12AB→，又AB→＝－2CD→，∴DC→＝12AB→，∴AM→＝12AD→＋1

2AB→＋12AB→＝34AB→＋12AD→.5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CO→＝λ(AB→＋AD→)，则实数λ＝()A．－12B．12C．2D．－2答案：A解析：由平行四边形法则可知，AC→＝AB→＋A

D→，又O为AC与BD的交点，∴AC→＝－2CO→，∴CO→＝－12(AB→＋AD→)，∴λ＝－12.6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→＝()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C．23OA→＋13OB→D．－12OA→＋

23OB→答案：A解析：∵2AC→＋CB→＝0，∴2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0，得OC→＝2OA→－OB→，故选A.7．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD

的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案：C解析：∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，∴AD→∥BC→且|AD→|＝2|BC→|，∴四边形ABCD为梯形．8．已

知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC内部答案：C解析：∵PA→＋PB→＋PC→＝AB→＝PB→－PA→，∴PC→＝－2PA→，∴点P在线段AC上．9．

[2024·河北省六校联考]已知点O是△ABC内一点，且满足OA→＋2OB→＋mOC→＝0，S△AOBS△ABC＝47，则实数m的值为()A．－4B．－2C．2D．4答案：D解析：由OA→＋2OB→＝－mOC→得，13OA→＋23OB→＝－m3OC

→，如图，设－m3OC→＝OD→，则13OA→＋23OB→＝OD→，∴A，B，D三点共线，∴OC→与OD→反向共线，m>0，∴|OD→||OC→|＝m3，∴|OD→||CD→|＝m3m3＋1＝mm＋3，∴S△AOBS△ABC＝|OD→||CD→|＝mm＋3＝47

，解得m＝4.故选D.二、填空题10．已知不共线向量a，b，AB→＝ta－b(t∈R)，AC→＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝________．答案：－23解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得AB→＝kAC→，所以ta－b＝k

(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b，因为a，b不共线，所以t－2k＝0，3k＋1＝0，解得k＝－13，t＝－23.11．在△OAB中，点C满足AC→＝－4CB→，OC→＝xOA→＋yOB

→，则y－x＝________．答案：53解析：根据向量加法的三角形法则得到OC→＝OB→＋BC→＝OB→＋14AC→＝OB→＋14(OC→－OA→)，化简得到OC→＝－13OA→＋43OB→，所以x＝－13，y＝43，则y－x＝43＋13＝53.1

2.如图所示，已知AB→＝2BC→，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则c＝________(用a，b表示).答案：32b－12a解析：∵AB→＝2BC→，∴OB→－OA→＝2(OC→－OB→).∴OC→＝32OB→－12OA→，即c＝32b－12a.[能力提升]13．已知

点P是△ABC所在平面内一点，且满足3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为()A．92B．4C．3D．125答案：C解析：∵3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，∴3(PA→＋PB→)＋2(PB→＋P

C→)＝0，取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则PA→＋PB→＝2PD→，PB→＋PC→＝2PE→，∴3PD→＋2PE→＝0，∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，∵S△ABC＝1

2AC·h＝6，∴S△PAC＝12AC×h2＝12×6＝3.14．(多选)[2024·湖南省四校摸底调研联考]在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则()A．EF→＝12CA→－12BC→

B．BE→＝－12AB→＋12BC→C．AD→＋BE→＝FC→D．GA→＋GB→＋GC→＝0答案：BCD解析：如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以EF→＝12CB→＝－12BC→，故A不

正确；BE→＝BC→＋CE→＝BC→＋12CA→＝BC→＋12(CB→＋BA→)＝BC→－12BC→－12AB→＝－12AB→＋12BC→，故B正确；FC→＝AC→－AF→＝AD→＋DC→＋FA→＝AD→＋12BC→＋FA→＝AD→＋FE→＋FA→＝AD→＋FB→＋BE→＋FA→＝AD→＋BE

→，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以AG→＋BG→＋CG→＝23AD→＋23BE→＋23CF→＝23×12(AB→＋AC→)＋23×12(BA→＋BC→)＋23×12(CB→＋CA→)＝0，即GA→＋GB→＋GC→＝0，故D正确．故选BCD.15．已知D

，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列命题：①AD→＝12a－b；②BE→＝a＋12b；③CF→＝－12a＋12b；④AD→＋BE→＋CF→＝0.其中正确命题的序号为________．答案：②③④解

析：∵BC→＝a，CA→＝b，AD→＝12CB→＋AC→＝－12a－b，故①不正确；对于②，BE→＝BC→＋12CA→＝a＋12b，故②正确；对于③，CF→＝12(CB→＋CA→)＝12(－a＋b)＝－12a＋12b，故③正确；对于④，AD→＋BE→＋CF→＝

－b－12a＋a＋12b＋12b－12a＝0，故④正确，故正确的有②③④.16．在△ABC中，AN→＝13AC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．答案：511解析：∵N，P，B三点共线，∴AP→＝mAB→＋

211AC→＝mAB→＋611AN→，∴m＋611＝1，∴m＝511.