【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第一册》全书课件3.2.2.ppt，共(54)页，1.328 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-044cb96ec4fd8ff6dc00992d08c6b378.html

以下为本文档部分文字说明：

3.2.2双曲线的简单几何性质[教材要点]要点一双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0

，c)性质焦距|F1F2|＝2c范围__________或________，y∈R__________或__________，y∈R对称性对称轴：________；对称中心：________顶点A1(

－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段________，长：________；虚轴：线段________，长：________；半实轴长：________，半虚轴长：________离心率e＝ca∈________性质渐近线y＝±baxy＝±abxx≤－ax

≥ay≤－ay≥a坐标轴原点A1A22aB1B22bab(1，＋∞)状元随笔(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的．(3)双曲线的渐近线

决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．(4)双曲线形状与e的关系．由于ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．要点二等轴双曲线实轴

和虚轴__________的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是________，离心率为e＝________.等长y＝±x2[教材答疑]教材P126思考通过比较例5与椭圆一节中的例6可以发现．动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，若这个常数大于0小于1

，则动点的轨迹是椭圆；若这个常数大于1，则动点的轨迹是双曲线．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．()(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．()(3

)方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax.()(4)离心率e越大，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．()√××√2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是()A．x2－y24＝1B．y2－x24＝1C.x24－y21

6＝1或y24－x216＝1D．x2－y24＝1或y2－x24＝1解析：由题意知2a＝2,2b＝4∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4又双曲线的焦点位置不确定，故选D.答案：D3．双曲线x22－y2＝1的

渐近线方程是()A．y＝±12xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±2x解析：由双曲线方程得：a＝2，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±bax＝±22x.故选B.答案：B4．若双曲线x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的

两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是________．解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝π4∴ab＝tanπ4＝1∴e＝1＋(ab)2＝2答案：2题型一由双曲线的几何性质求其标准方程——自主完成1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线

上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1解析：不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，3)，所以ba＝3，

又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－y23＝1，故选D.答案：D2．焦点为(0,6)，且与双曲线x22－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．解析：由x22－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±22x.设双曲线方程为：x22－y2＝λ(λ

<0)，∴x22λ－y2λ＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为y212－x224＝1.答案：y212－x224＝13．过点(2,0)，与双曲线y264－x216＝1离心率相等的双曲线方程为________．解析：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为x264－

y216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为y264－x216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程

为x24－y2＝1.答案：x24－y2＝14．与椭圆x225＋y216＝1有公共焦点，离心率为32的双曲线方程为________.解析：方法一由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．

因为e＝ca＝32，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.方法二因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为x225－λ－y2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e＝32，所以λ－1

625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.答案：x24－y25＝1方法归纳由几何性质求双曲线标准方程的解题思路1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能

有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y＝±nmx的双曲线方程可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为A

x±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ或y2a2－x2b2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b

>0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ>0)或y2a2－x2b2＝λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．(4)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为x2a2－

λ－y2λ－b2＝1(b2<λ<a2)．题型二由双曲线方程研究其几何性质——微点探究微点1利用方程求解几何性质例1(多选)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为x216－y29＝1的是()A．离心率为54B．

双曲线过点(5，94)C．渐近线方程为3x±4y＝0D．实轴长为4解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)．可得c＝5，如果离心率为：54.可

得a＝4，则b＝3，所以，双曲线C的方程为x216－y29＝1，所以A正确；c＝5，双曲线过点5，94，可得25＝a2＋b225a2－8116b2＝1解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为x216－y29＝1，所以B正

确；c＝5，渐近线方程为3x±4y＝0，可得ba＝34，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为x216－y29＝1，所以C正确；c＝5，实轴长为4，可得a＝2，b＝21，所以双曲线C的方程为x24－y

221＝1，所以D不正确；故选ABC.答案：ABC方法归纳已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较．微点2

求双曲线的离心率例2(1)设a>1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2)B．(2，5)C．(2,5)D．(2，5)解析：(1)由题意得，双曲线的离心率e2＝ca2＝a2＋(a＋1)2a2＝1＋1＋1a2，因为1a

是减函数，所以当a>1时，0<1a<1，所以2<e2<5，所以2<e<5，故选B.答案：(1)B(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52解析：(2)由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－bax，∴－2＝－ba·

4，∴a＝2b.方法一设b＝k，则a＝2k，c＝5k，∴e＝ca＝5k2k＝52.方法二e2＝b2a2＋1＝14＋1＝54，故e＝52.答案：(2)D(3)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双

曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________.解析：(3)不妨设焦点F(c,0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直得－bc·ba＝－1(斜率为－ba的直线显然不符合)，即b2＝ac.又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同

除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝5＋12(负值舍去)．答案：(3)5＋12方法归纳求双曲线的离心率或其取值范围的思路1．求解双曲线的离心率一般有两种方法．(1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝ca＝1＋(ba)2＝11－(bc)2，其中a>0，b>0.(2)依据条件列

出含a，c的齐次方程，利用e＝ca转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍．2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和ca＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结

论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．微点3求双曲线的渐近线例3(1)已知椭圆E：x220＋y216＝1与双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)

有共同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±5xD．y＝±55x解析：(1)椭圆E的焦点为F1(2,0)，F2(－2,0)，所以双曲线C的焦点为F1(2,0)，F2(－2,0)，则在双曲线C中：c＝2，b＝1，a＝c2－b2＝3

，所以双曲线C的渐近线方程为：y＝±bax＝±33x.故选B.答案：(1)B(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.解析：(

2)由题意知：32－42b2＝1，解得b＝2.所以双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±2x.答案：(2)y＝±2x方法归纳由双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)中等号右边的“

1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程xa±yb＝0或ya±xb＝0.跟踪训练1(1)(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1，则()A．实轴长为2B．渐近线方程为y＝±3xC．离心率为2D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3解析：(1)由双曲线

的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝23，c＝4；所以实轴长2a＝4，离心率ca＝2，渐近线方程为y＝±bax＝±3x，所以A不正确；B，C正确；因为准线方程为x＝a2c＝1，设渐近线y＝3x与渐近

线的交点为A，两个方程联立可得A(1，3)，另一条渐近线的方程为：3x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝|3·1＋3|2＝3，所以D不正确．答案：(1)BC(2)已知F为双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过

点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是________．解析：(2)双曲线E：x2a2－y2b2＝1的渐近方程为y＝±bax，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，由∠AOF

＝∠BOF＝∠ABO＝30°，可得ba＝tan30°＝33，∴c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝1＋13＝43，∴e＝233.答案：(2)233题型三直线与双曲线的位置关系——师生共研例4(1)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝

1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．解析：(1)联立方程组y＝kx＋12x2－y2＝1得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0则k2－2≠0Δ＝(2k)2－8(k2－2)>0－2kk2－2>02k2－2>0解得－2<k<－2.答案：(1)(－

2，－2)(2)双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(7，0)，直线y＝x－1与双曲线相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为－23，则双曲线的方程为________．解析：(2)由题意知MN中点的坐标为－23，－53，设双曲线的

方程为x2a2－y27－a2＝1(a>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x21a2－y217－a2＝1①，x22a2－y227－a2＝1②.①－②得(x1＋x2)(x1－x2)a2＝(y1＋y2)(y1－y2)7－a2，即x1＋x2y1＋y2＝a27－

a2·y1－y2x1－x2，所以－43－103＝a27－a2，解得a2＝2，故双曲线的方程为x22－y25＝1.答案：(2)x22－y25＝1状元随笔解决有关直线与双曲线的位置关系的问题时，还要关注直线交于双曲线两支中哪一支的问题，从而确定变量x

和y的隐含范围.方法归纳直线与双曲线的位置关系的判断方法1．代数法将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项

的系数是否为零，否则容易漏解．2．数形结合法判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．与双曲线有关的中点弦问题的解题思路与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问

题也是利用点差法及设而不求的思想．另外，需注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验．跟踪训练2(1)设双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l：

x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.(62，2)B．(2，＋∞)C.(62，＋∞)D.(62，2)∪(2，＋∞)解析：(1)由x2a2－y2＝1x＋y＝1得(1－a2)x2＋2a

2x－2a2＝0则1－a2≠0，Δ＝4a2(2－a2)>0解得a2∈(0,1)∪(1,2)又e＝1a2＋1，∴a2＝1e2－1从而e∈62，2∪(2，＋∞)，故选D.答案：(

1)D(2)已知双曲线x24－y2＝1，则过点A(3，－1)，且被点A平分的双曲线的弦MN所在直线方程是________．解析：(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x214－y21＝1x224－y22＝1两式相减得x22－x214＝y22－y21所以y2

－y1x2－x1＝x2＋x14(y2＋y1).因为点A平分弦MN，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.所以kMN＝y2－y1x2－x1＝x2＋x14(y2＋y1)＝－34.所以双曲线的弦MN所在直线的方程为y＋1＝－34(x－3)，即3x＋4y－5＝0.易错辨

析忽略对焦点所在轴的讨论致误例5已知双曲线的渐近线方程是y＝±23x，焦距为226，求双曲线的标准方程．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，由ba＝23，c2＝a2＋b2＝26，解得a2＝18，b2＝8，所以所求双曲线的标准方程为x

218－y28＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，由ab＝23，c2＝a2＋b2＝26，解得b2＝18，a2＝8，所以所求双曲线的标准方程为y28－x218＝1.故所求双曲线的标准方程为x218－y28＝1或y28－x218＝1.【易错警示】易错原因纠错心

得误认为焦点一定在x轴上，得到答案：x218－y28＝1，而漏掉焦点在y轴上的情况.当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上

时，渐近线方程为y＝±bax；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±abx.