11.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题课后训练巩固提升A组1.已知△ABC的三个顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高等于()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得=(4,-5,0),=(0,4,-3).设边AC上的高为BD.||==4,||=,所以边AC上的高BD==5.答案:C2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.B.C.D.解析:分别以PA,PB,PC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以=(1,0,0).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则点P到平面ABC的距离d=.答案:D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在直线的距离为()A.aB.a2C.aD.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,连接A1B.∵A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a),∴=(0,a,-a),=(-a,0,a).取a==(0,a,-a),u=.∴点A1到BC1的距离为a.答案:A4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.B.C.D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,3则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0),所以=(-1,0,1),=(0,1,-1),.因为,且直线AD1与MN不重合,所以MN∥AD1.又MN⊄平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.所以直线MN与平面ACD1之间的距离等于点M到平面ACD1的距离.设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量.连接AM,因为-(1,0,0)=,所以点M到平面ACD1的距离d=.所以直线MN与平面ACD1间的距离为.答案:D5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1
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